数学史真相：中国是世界数学之源--算术、代数、几何都是中国古代数学家创造

导读：中国数学在世界上一直居于主导地位，并在许多主要领域内遥遥领先直至宋末明初。今天的中小学数学，如算术、代数、几何等内容，都源自中国古代数学家的创造，大部分在汉朝《九章算术》就俱已齐备。而中国以西的印度、阿拉伯和欧洲非常晚，文艺复兴时期中学西渐，启发欧洲人破除了神学至尊的愚昧思想。例如，微积分就是中国数学式战胜希腊式数学的产物，主要是靠中国数学而非希腊数学，决定当时的数学发展进程。之后近代数学突飞猛进，带动西方科学技术快速发展。近卌年，有些民族对自然社会的思考，最肤浅地就是盲信盲从情感型表达的模糊不清的简单语言；而理性之人分析具体的现象，直到以数学等工具为主的科学思维。科学实验、科学假说，均需工程技术支撑，理论和技术均丰富了科学之躯，切不可止步于语文工具之表象思维。

中国是世界数学之源：算术、代数、几何都是中国古代数学家创造

文|秦陇纪、文行先生等

科学理论的本质是科学家用数学工具对自然社会做从出定性定量解释。本期科学Sciences简述算术、几何、代数等数学历史的来源。今天世界各国中小学数学教材，如算术、代数、几何这些内容，其实都源自中国古代数学家的创造，大部分在汉朝的《九章算术》就俱已齐备，而中国以西的印度、阿拉伯和欧洲是非常晚的。文艺复兴时期中学西渐，启发欧洲人破除了神学至尊的愚昧思想。吴文俊院士指出“微积分的发明乃是中国数学式战胜了希腊式数学的产物。”甚至可以说，“近代数学之所以能够发展到今天，主要是靠中国的数学，而非希腊的数学，决定数学发展进程的主要是中国的数学而非希腊的数学。”基于此呼吁，“被颠倒了的历史必须颠倒回来！”。下面是文行先生文章。

1. 中国是世界数学之源

鸦片战争开始，列强入侵、国土沦陷。甲午战败，中国人民族自信心严重受挫，失魂落魄，开始否定中华文化、打倒中华文化，乃至呐喊“汉字不灭，中国必亡”。即使建国之后，还是如此，延至80年代，竟然“河觞”泛滥，污蔑中国历史一片黑暗，一无是处。数学自然也不能自外于滔滔“河觞”。

中科院院士、数学家吴文俊先生《中国古代数学对世界文化的伟大贡献》一文指出，“西方的大多数数学史家，除了言必称希腊以外，对于东方的数学，则歪曲历史，制造了不少巴比伦神话和印度神话，把中国数学的辉煌成就尽量贬低，甚至视而不见，一笔抹煞”。

对于这些种族主义的谬论，国内学者不加以批驳，反而要么亦步亦趋、鹦鹉学舌，跟着叫嚷着“言必称希腊”，要么不吱声。这主要是由于中国近代孱弱导致“对祖国古代数学一无所知”。近年来一些最新研究显示，这些只不过是西方为了配合其建构地理大发现以来的资本主义发展史和欧洲中心论的需要而臆想和编造出来的伪史的一部分。

还原历史真相

事实上，“中国数学，在世界上可以说一直居于主导地位并在许多主要的领域内遥遥领先直至宋末明初”，以今天世界各国中小学数学教材内容看，如算术、代数、几何这些内容，都是中国古代数学家的创造，大部分在汉朝的《九章算术》就俱已齐备，而中国以西的印度、阿拉伯和欧洲是非常晚的。如下表：

中国著名数学史家钱宝琮在《中国古代数学的伟大成就》一文中详细地谈到中国《九章算术》西传印度、阿拉伯、欧洲的演变情况：

1.“中国的(整数)筹算乘除法则到印度演变为土盘法则，传到阿拉伯，演变为笔算的削去法，传到欧洲，逐渐改进到现在的算法。演变的经过都有可靠的史料可以考证明白。”

2.分数表示法(分子在上，分母在下)和“后来印度、阿拉伯的分数算法，亦是从中国传过去的。”

3.欧洲的比例、黄金法则等概念，也是由中国传到印度、阿拉伯，再传到欧洲。

4.中国的盈不足术在中国已经被更先进的方法淘汰的时候，传到了阿拉伯，“阿拉伯人十分重视，编入他们的代数书内，有‘契丹算法’的称谓。由阿拉伯传到欧洲，在十六、七世纪中代数学书亦普遍采用，改称‘rule ofdouble false position’。”

5.中国“联立一次方程式算法传到印度，印度人把各项筹算改为横写，并添辅未知数明色，就是现在代数写法的渊源，印度人认识负数，说它有欠债的意思大约亦是从中国数学学习到的”。

6.现在教科书解高次方程式所谓的“霍纳方法”(1819)实际上就是中国宋代的“增乘开方法”，虽然这里钱宝琮没有明确说欧洲源自中国，但很明显，这实际上就是抄袭中国的。

中国学者在进行中西方对比的时候，经常只提中国“早多少年”，不敢直接提“中学西渐”。一个曾经自卑到要消灭汉字、失魂落魄的民族，直到今天依然如此“谨慎”，悲乎！

吴文俊院士引用了印度数学史家Kaye说法，即：印度与中国的数学有很多平行之处，而印度是欠了中国的债。

中学西渐总结道，“中国算学与印度、阿拉伯、日本及西洋各国算学均有授受关系”。欧洲近代数学的发展是得益于阿拉伯数学和中国数学，是“中阿合璧”的产物，如下图：

吴文俊指出，“中国数学可以说一直“直到16世纪以前我国数学在许多最主要的领域一直居于最先进地位”。“到西欧17世纪以后才出现的解析几何与微积分，乃是通往近代数学的主要的两大创造，一般认为这些创造纯粹是西欧数学的成就。但是中国古代数学绝不是不起着重大作用的(甚或还是决定性作用)。”吴文俊院士对此进行了详细的分析论证。

“微积分的发明乃是中国数学式战胜了希腊式数学的产物。”甚至可以说，“近代数学之所以能够发展到今天，主要是靠中国的数学，而非希腊的数学，决定数学发展进程的主要是中国的数学而非希腊的数学。”基于此，吴文俊院士呼吁，“被颠倒了的历史必须颠倒回来！”

《算学宝鉴》与重写明史

以上阐述是钱宝琮于1951年、吴文俊在1975年的研究结论，即在王文素的《新集通证算学宝鉴》真正得到重视和研究之前。《算学宝鉴》系“民国年间由北京图书馆于旧书肆中发现一兰格抄本而得以入藏”，虽然“抗战前，中算史家李俨曾看过此书，《中算史论丛》中有文提及。六十年代，数学史家钱宝琮主编《中国数学史》也提到此书”，但是当时谁也没有见过或真正了解此书。王文素的《算学宝鉴》真正得到重视和研究是1992年北京师范大学物理系赵擎寰教授推介之后。

从目前研究来看，《算学宝鉴》代表着中国历代数学的最高水准，也是当时世界的最高水平。“《算学宝鉴》研究了一元高次方程的数值解法，内容详实可贵，这充分说明一元高次方程数值解法及天元术、四元术在明朝并未完全失传。王文素在解法中所用名词术语、演算程序，基本上与宋元数学一致，并有所发展和创新。王文素的数学成就是中国数学史连续性的有力证据。”

“王文素解高次方程的方法，较英国的霍纳(Hirner，1786－1837)、意大利的鲁非尼(Ruffini，l765－1822)早近300年；在解代数方程上，他走在17世纪牛顿(I．Newton，1642—1727)、拉夫森(J． Raphson，1648－1715)的前面140多年，率先用导数逐步迭代求解，为中国数学史谱写了光辉的篇章；对于17世纪微积分创立时期出现的导数，王文素在16世纪已率先发现并使用，因而，只从微积分的角度探索导数的起源是不够的，由此看来王文素对世界数学的贡献还应更深入的研究。”

这些最新的研究发现极大地强化了吴文俊院士关于“近代数学的发展主要靠中国数学”的结论。有些贬抑中国的人还在“纠缠”吴文俊教授的“中国式数学”和“中国数学”，而《算学宝鉴》的出现使得“式”字可以拿掉了。文行先生在《传教士盗取中华文明、颠倒世界历史》谈到，“王文素不是‘早’、‘率先’，而是欧洲的近代数学完全系中国数学通过传教士西传的产物，是‘中学西渐’，包括牛顿和莱布尼茨的微积分系源自明朝王文素的‘导数’，根本不是欧洲的发明。”当然，发生了“南橘北枳”的效应了——用阿拉伯数学的瓶子装中国数学的酒。

然而，项观捷在其所著的《中国古代数学成就》(1988)一书中说道，“我国数学自产生之日起，就一直持续发展着┅┅而在朱世杰之后，我国古代数学的发展突然发生了严重的中断。从朱世杰到明朝程大位将近三百年光景，没有出现一位重要的数学家，也没有出现一部重要的数学著作。而且不仅仅是没有什么新的发展，就是宋元数学所留下的那份宝贵遗产也没有保住。”

这种论调还有很多，如：“近史期算学，自明初至清初约当公元1367年迄1750年，前后约400年……民间算学大师又继起无人，是称中算沉寂时期”，“明代中叶以后，出版了很多商人所写的珠算读本，对比较高深的宋元数学只能付之阙如，中国古代传统数学到明代几乎失传”，“十四世纪……先辈们辛勤创造的天元术竟完全失传了。在西方学术输入之前，最重要的也是流传最广的数学书是程大位的《算法统宗》(1592年)，这书除了算盘和歌诀之外，没有新的创造。它基本是整理前人作品的书，并且漏掉高次方程和多元高次方程等重要部分”等。

项观捷发问道：“为什么我国古代数学发展到十四世纪突然发生了中断？这个问题历来受到中外史家的注意。”有趣的是，项观捷还在书中还讲到，“在明朝末期，大统历和回回历的误差越来越大，修改历法已成当务之急，但偌大的明朝居然找不出一个能主持修改历法的人了。这说明经过一个明朝，我国古代天文学和数学水平已经下降到多么可怜的水平。”

但是，在文行先生《传教士盗取中华文明、颠倒世界历史》所引用的中科院自然科学史研究所李亮先生的文章《被“遗漏”的交食——传教士对崇祯改历时期交食记录的选择性删除》中谈到，传教士大量删改中国的历史文献，使得我们误以为中国传统历法越来越差劲，而实际情况是，西洋历法并没有像目前所看到的中国历史文献所显示那样完胜中国传统历法，崇祯皇帝的圣旨明确说“日食初亏、复圆时刻方向皆与《大统历》合，其食甚时刻及分数，魏文魁所推为合”，即大统历和魏文魁法预报的交食时刻与实测结果更吻合。更要命的是，如南怀仁所言，欧洲最著名的天文学家计算出的结果都会与实测结果有巨大差异，但在中国却能精确到“刻”，南怀仁为此激动万分，而实际上，这要归功于明代高超的数学水平。

事实上，文行先生《从屈原被西方踢出历史教材说起》谈到，清朝“除了焚毁书籍，大清还系统地对明代档案进行了销毁。明代档案仅三千余件，主要是天启、崇祯朝兵部档案，也有少量洪武、永乐、宣德、成化、正德、嘉靖、隆庆、万历、泰昌朝的官方文书。其余估计不少于1000万份明代档案，已经全部被销毁了。除了销毁书籍和档案外，大清还系统的对残存书籍和档案，进行篡改”。明代档案仅万分之三(3‱)流传下来，就是仅存的这3‱也是经过系统性删改的。

而王文素的《算学宝鉴》因逃过了《四库全书》的编撰而得以幸存——“四百年间未见各收藏家及公私书目著录，民国年间由北京图书馆于旧书肆中发现一兰格抄本而得以入藏”，使我们得以一窥明代数学的辉煌，得以还原被颠倒的历史。

文行先生《传教士盗取中华文明、颠倒世界历史》谈到，汤若望删除、篡改《崇祯历书》，把《治历缘起》从十二卷删除到八卷，这已经是证实了的，铁板钉钉。韩国藏本使我们得以一窥明代天文、历法、数学的辉煌，得以还原被传教士篡改的天文史。

综上所述，结合屡屡提及的李兆良先生对《坤舆万国全图》的考证，使我们得以一窥明代测绘世界的辉煌，我们可以斩钉截铁地说，充分的证据表明，满清和传教士合谋进行大规模、系统性删改、销毁大量明朝资料，贬抑和阉割明朝的文明成就，把明朝知识、科技西传的“中学西渐”颠倒为“西学东渐”。

传教士明末来华并打入中国高层以及随后的明朝灭亡和清朝新立，满清蛮荒出身和贬抑明朝的政策，传教士的宗教狂热催使的篡改历史的阴暗心理和西方的“强盗”即爱国的凯旋文化(伏尔泰语)，萨义德揭示的东方主义，必须引起我们高度警惕，必须在我们的相关研究中得到充分的考虑。

我们可以合理推理：郑和下西洋的资料也是清朝删掉，然后甩锅给刘大夏的；甚至《永乐大典》的失传与满清也不无关系。基于上述，我们要高度警惕关于明朝的默证问题，不能因为没有记载就说没有、不存在、不曾发生过，不能因为现存的中国明代文献记载某方面很差就认为真的很差。

因此，我们不能认为整个明朝只有王文素一个人能达到这个水平，而应该认为王文素是明朝数学最高水准的一个代表，甚至王文素的《算学宝鉴》并不是明朝的最高水准，因而即使有人资助也出版不了。而王文素的《算学宝鉴》之所以能够流传下来，仰赖于逃过《四库全书》的编撰删改销毁，而那些同样水平或更高水准的的数学著作都被满清和传教士销毁了。因此，西方传教士完全可能接触到明代最高水平的数学，并把这些知识西传欧洲，在欧洲引入阿拉伯数字和拉丁希腊字母的前提环境下诞生了欧洲近代数学。相反，我们误以为明代数学发展出现中断、停滞、退步，“下降到可怜的地步”，是西方传教士介绍先进文明(如天文学、数学)给中国——事实上不是这样，是满清和传教士合谋篡改历史的结果。

项观捷还在《中国古代数学成就》讲到关于朱世杰的一个高阶等差序列求和公式，如下图：

能够得到这个公式，不靠推理是不行的，只是中国古代不喜“空谈”(就像春秋名家一样)，而重实效，重实际应用，所以，没有把繁琐的过程书写出来。就朱世杰的上述公式而言，西方人直到18世纪才能达到这个水平，而显然，不能理解为西方人凭空自己发明出来，而应理解为“中学西渐”。我们可以想象，当其他接触到中国数学的民族，不但对结论会感到神奇，更会对证明过程感兴趣，更重证明的过程。这是判断原创和流传的依据之一。因此，当中国数学出口转内销之后，我们误以为那是别样的数学。

文行先生《从屈原被西方踢出历史教材说起》指出，欧洲在文艺复兴时期远非我们现在所认为的那么世俗、理性、科学、逻辑，并引用西方最新研究成果：“文艺复兴运动的人文主义，根本算不上一个哲学思潮或体系┅┅充其量不过是一些和文学沾边的东西……当时的人文学校虽然包含了一个哲学范畴即道德，却将诸如逻辑学、自然哲学、玄学、甚至包括数学、天文学、医学、法律学以及神学在内的其他学科领域统统拒之门外。”(克利斯特勒在《古典名著和文艺复兴思想》第7页)

“在我看来，文艺复兴运动的人文主义，千方百计地想要将自己与整个时期的哲学、科学及教育结合在一起；而眼下的确确凿事实，却好像为这一努力提供了反面证据。”(克利斯特勒在《古典名著和文艺复兴思想》第7页)

“在文艺复兴运动期间，根本不存在什么精神或哲学思潮上的'人文主义'；它与各种思想观念的撮合，比如说以人为本的文学创作以及精神解放和自由，都是后人世界观及理想主义的发挥，与那个时代精神毫无瓜葛。”(娜希亚·雅克瓦基在《欧洲由希腊走来》第64页)

“其实，西方直到17世纪末期之前，智慧与预卜、哲学与炼金术还是同义词，只有到了18世纪，这两对同义词才彻底分道扬镳。”那种认为欧洲自从地理大发现开始就辉煌无比的认知必须得到彻底的扭转，这里我以一幅画来形象说明。如下图：

因此，种种迹象和证据表明，文艺复兴期间，欧洲还是很愚昧的，远非我们所想象的那么先进，欧洲近代的文明进步完全源于明代中国的恩赐。甚至，我们可以说，欧洲近代的发展成就系明朝的复制、移植，欧洲近代文明是中华文明的“南橘北枳”。这当然包括数学。

明代中国是被污蔑的，《明史》等资料被严重篡改和销毁了，在这种情况下，我们不能过于囿于史料，要更多地运用逻辑分析和常识，去发现被歪曲的历史，还原真相。例如，不能轻易以中国历史文献的记载去否定孟席斯的相关研究成果(《1421》和《1434》)，不能否认其某些研究可能是错误的，从目前看，他研究的方向以及大多数是对的，是时候必须认真对待他的研究了(参见《黑色雅典娜》、《白银资本》、《西方文明的东方起源》、《中国之欧洲》、《考古学一百五十年》等)。

我认为，明朝极其辉煌，远超我们的想象和认知，由于大量文献被严重篡改和销毁，明朝的真相有待于我们去重新发现。明史要重写！

世界数学之源

上文中提到吴文俊院士赞成数学史家钱宝琮关于欧洲数学发展的说法，如下图(吴文俊所作)：

文行先生公号核心方向之一是揭露西方伪史。根据其文章《古典希腊伪史是如何炼成的？》、《古史辨之古希腊伪书》和《诡谲的希腊帝国》，文艺复兴时期的希腊-格里斯实际上指的是东罗马，希腊文实际上指的是东罗马的文字。根据文行先生《古罗马金币揭穿西方文明伪史》，希腊文实际上诞生于希拉克略改革时期，之后逐步完善，在9世纪，罗马金币上全部为希腊文，显示希腊文已经基本完善。

所以，钱宝琮所谓的那个“希腊”实际上是9世纪之后的东罗马，因此，结合文行先生公众号阐述的古希腊伪史的观点，文行先生把吴文俊院士根据钱宝琮先生的观点而所作的图修改如下：

(完)(注1：资料来自文行先生公号等[1-4]。)

附录：数学学报Vol.18,No.I(March,1975)顾今用文章《中国古代数学对世界文化的伟大贡献》。

2. 中国古代数学对世界文化的伟大贡献

公元前221年，秦始皇灭兴国，建立了中国历史上第一个中央集权的封建国家．汉承秦制，自秦至西汉中期这两百来年间，是新兴地主阶级专政巩固发展与上升的时期，法家路线占着主导地位．法家对工农业生产与科学技术比较重视，由此促进了数学的迅猛发展，出现了一批高水平的数学家，如张苍、耿寿昌等．《周髀算经》、《许商算术》与《杜忠算术》(后二者已失传)都在这时期出现．我国最主要的一部传于后世的数学著作《九章算术》也基本上成书于西汉初年，其内容为以后一千多年的辉煌成就奠定了系础．从西汉以迄宋元，虽然有儒家思想不断干扰，但随着儒法斗争的过程，唯心论与唯物论斗争的过程，随着我国社会经济和劳动人民创造性发展，数学人才与数学创作仍世代不绝，中国的数学，在世界上可以说一直居于主导地位并在许多主要的领域内遥遥领先，直到宋末明初，宋明理学成为垄断一切的统治思想，明代并以八股取士，以及其他一些原因，科学技术的发展受到扼杀，除了民间的计算技术还有重要发展外，数学巳相应地大为衰落．从明末利玛窦怀着不良企图以介绍西方数学为名打入我国统治集团内部以来，我国数学上与古代相比已谈不上什么创造，基本上依靠国外的技术输入，在外国人屁股后面爬行了．正如毛主席批评的那样“言必称希腊以外，对于自己的祖宗，则对不住，忘记了．”西方的大多数数学史家，除了言必称希腊以外，对于东方的数学，则歪曲历史，制造了不少巴比伦神话与印度神话，把中国数学的辉煌成就尽量贬低，甚至视而不见，一笔抹煞，对于在已成为半封建半殖民地社会中生活过来的一些旧知识分子，接触的数学都是“西方”的，看到的数学史都是“西方史家”的，对于祖国古代数学又十分无知，因而对于西方数学史家的一些捏造与歪曲无从辨别，不是跟着言必称希腊，就只好不吭声．

但是，被颠倒了的历史必须颠倒过来！

作为中国古代数学成就的具体例子，不妨着一看至少直到本世纪五、六十年代中小学的中外数学教本．有一本西方数学史([12]，这基本上是一本比较好的数学史)说：“在许多中学中，代数学现仍被教成一堆公式而不是一种演绎的科学”．在谈到代数学的东方起源时又说：“今日学校中的代数学和几何学仍然保持这些不同来源的标志．”

这里所谓东方起源或东方数学，乃是针对“由一些定义、假定和公理到定理的一种严格逻辑的演绎法”作为根据的所谓“欧几里得的处理”这种西方(或希腊)式数学来说，这本书所说的东方，原意是指巴比伦或是印度，而我们将会看到这个东方应指中国才算确当．诚然，中小学数学教本中的几何课程有一种特殊的表达形式，与其他算术、代数(甚至三角与解析几何)的表达形式显然有别．我们不难想到，如果抽掉了东方色彩(也就是中国色彩)的算术、代数的这些部分，只保留所谓希腊式的几何部分，我们的中小学数学将成什么局面？

中小学数学中的第术、代数这些部分，从记数、以至解联立线性方程与二次方程，实质上都是中国古代数学家的发明创造，早就见之于中国的九章算术甚至是周髀算经等书，据钱宝琮考证([3])，九章算术刘徽作注是在公元263年，全书完成则在公元50一100年间．但除个别片段外，基本内容应完成于公元前200年或更前一些(这是某些西方数学史家的意见．有的甚至提早到公元前1000年，例如[9])，九章的前身是张苍、耿寿昌的著作，张苍在秦时就已做宫，耿寿昌也是西汉宣帝时人．西方的某些说法是有一定依据的．但我们仍不妨依钱说，认为是公元50-100年间写成的著作．另一部周髀算经则据钱宝琮考证([3])成书于公元前100年前后．

下面是关于算术代数部分发明创造的一张中外对照表，这里应该指出，表中虽列有印度的发明，但诚如一位印度数学史专家Kaye所说的那样：印度与中国的数学有很多平行之处，而印度是欠了中国的债．(参阅例如Cajori，[6]，页97与84，又如Scott[9])．而且，表中所列是依据两位褐力为印度数学辩护的印度数学史家Datta以及Singh([7])自己的说法，这些说法即使不考虑中国的因素，也是大有疑问的．

中国的劳动人民，在长期的实践过程中，创造与发展了从记数、分数、小数、正负数以及无限逼近任一实数的方法，实质上达到了整个实数系统的完成．特别是自古就有了完美的10进位位值制的记数法．这是中国的独特创造，是世界其他古代民族都没有的．这一创造对世界文化贡献之大，如果不能与火的发明相比，也是可以与火药、指南针、印刷术一类发明相媲美的．

代数学无可争辩地是中国的创造，从九章以至宋元的秦九韶与朱世杰发展的线索甚为分明，甚至可以说在16世纪以前，除了阿拉伯某些著作之外，代数学基本上是中国一手包办了的．但中国古代数学的成就决不止于算术与代数方面，以几何而论，希腊欧几里得几何的拱心石是毕达哥拉斯定理(语出Bourbaki，[5])或即勾股定理．这一定理我国古代自然也早已有之．但中外数学史家提到中国的勾股定理时，或则引述髀而只及勾三股四五这一特例，或则虽引述一般定理而最早只及九章，其实在周髀中就已有一般定理的叙述：

“若求邪至日者，以日下为勾，日高为股，勾、股各自乘，并而开方除之，得邪至日．”

不仅如此，勾股定理还被具体用于勾股弦的直接互求，甚至应用于测日之高远这一类复杂问题．这与欧几里得几何中理论脱离实际的情况是迥不相同的．中国的几何学与希腊的几何学有许多不同之处，其详细比较有待阐发．

对于三角学中国也是最早发明者之一．西方数学史家一般都把《天文书》(Almagest)的作者托雷米(Ptolemy，公元150年左右)作为三角术的创始人，而把中国的三角术视为是受了他的影响，例如，在西方数学史[12]中说：

中国“有一些三角学，主要是在《海岛算经》中，但是，由于这算经被归之于纪元后第三世纪，我们就不可以不考虑西方影响了．”

诚然，《海岛算经》的作者刘徽是公元三世纪时人，但据刘徽九章注自序，《海岛算经》本是九章注第十卷《重差》，而东汉末郑玄《周礼注》引郑众注周礼“九数”(约公元50年)语云“今有重差、勾股”．可见刘徽《海岛》的前身乃是汉时的重差术．如果把《海岛》测高远之法具体分析，可见重差之法由来已久，周髀中：

“周髀长八尺，夏至之日晷一尺六寸．┅┅正南千里，勾一尺五寸．正北千里，勾一尺七寸．┅┅从此以上至日，则八万里．”

这正与《海岛算经》中“今有望海岛”的第一题是一样的．诚然周髀视地为平地是一种错误，但它所依据的三角测量原理是正确无误的，也正因为如此，周髀以之观天者，刘徽以之测地，而建立了以重差为基础的三角测量术．这种三角测量术的目的与方法在周髀中都早已有所说明，周髀引陈子之言“望高起远”是它的目的，引商高之言“平矩以正绳，偃矩以望高，复矩以测深，卧矩以知远”是它的方法．刘徽把“度天圆穹之象”改为度“泰山之高与江海之广，”又触类而长为“度高者重表，测深者累矩，孤离者三毁，离而又旁求着四望”，无非是周髀立两表以测日高这这一三角测量术的发展与推演而已．

西方的三角术是先有球面三角后有平面三角．托雷米的《天文书》主地球中心说，他的三角术由测天而来，因而是球面三角术．至于平面三角术则迟至公元1250年才由波斯天文学家纳法刺丁所建立．但在我国则不论是周髀观天还是海岛测地，一开始就是平面三角术．东西方三角术的发展途径是刚巧相反的，很难谈到有什么相互影响．如果说有影响，那么周髀早于《天文书》有好几百年，只有说托雷米受到中国的影响才更合情理．前引西方数学史学家关于中国三角学之说显然是颠倒了历史事实．

在西欧，16世纪*@#现了不少描述三角测量的图画，其中有一张名“鼓皮三角法”，所画正如周髀赵爽注所附的日高图(也即重差原理图)的一个翻版，这也可以见到我国三角测量术的先进程度．(画见Smith，[10]，页355)

到西欧17世纪以后才出现的解析几何与微积分，乃是通向所谓近代数学的主要的两大创造，一般认为这些创造纯粹是西欧数学的成就．但是中国的古代数学决不是不起着重大作用(甚或还是决定性的作用)．

先说解析几何，Smith([11]，页316，)曾认为解析几何的发展有三个主要步骤：(1)座标系统的发明；(2)几何与代数间一一对应的认识；

(3)函数y=f(x)的图形表示，第一步属于古代，第二步属于中世纪，第三步则是近代的．

西方向来认为17世纪的Descartes(以及Fermat)是解析几何的创始人，但实际上Descartes的有关主要著作中既无坐标也无坐标轴的概念，更无所谓直线与曲线的方程．Descartes的贡献是在第二步即几何与代数建立关系方面，在他的主要辛苦作中，给出了二次方程的几何解法，但阿拉伯最早的代数学即AI-Khowarizmi(花刺子模)的著作(公元9世纪)也早已用另一种较Descartes更好的方法绘出了二次方程的几何解．事实上几何与代数的统一处理乃是我国古代数学的一个传统特色，从九章以来就向来如此，花刺子模的著作据Cajori[6]与希腊印度无关，如果不是阿拉伯自己的发明创造，则必然渊源于中国，从著作的风格看来，后者是不无可能的．这一段历史自然是值得重视并予以澄消的．现已知花刺子模在842-847年曾出使波斯以北当东西方商业要冲的西突厥可萨国，而可萨通中国语，朝廷依中国礼仪([13]，Addenda)，详情有待进一步调查．

至于第一步，西方数学史家比较一致地认为真正的坐标概念出现于14世纪中叶Oresme关于以“经度”、“纬度”来表示点的位置的一个著作．提Smith指出([11]，页320注)，Oresme的著作可能导源于10世纪时的一个作品．这里10世纪的作品估计应是阿拉伯的．在我国，则周髀中已有“分度以定则正管经络”以及“游仪所至之尺为皮毒虫”等语，注中并屡言“引绳圣经纬之交，以望之．”中国又有世界上最早的星表(甘石星经，战国中叶，公元前三百五六十年)，公元2世纪张衡就作星图与浑天仪，又有世界上最早的石刻星图(宋，公元1247年，在苏州)．由此可以看到以经纬度表星的位置的这种座标概念我国是最早的创始人之一．我国的天文数学历来紧密结合．我国又是罗盘的发明者并曾经是航海最发达的国家之一．用经纬度表位置的概念与方法在后来必然有所发展，其演变以及与阿拉伯西欧的关系，是值得把它追查清楚的．

微积分，这是使西欧数学一跃而居世界领导地位的重大发明创造，在我国似乎是没有份的．但是微积分的发明从Kepler到牛顿有一段艰难的过程．在作为产生微积分所必要的准备条件中，有些是在我国早已有之，而为希腊式的数学所力所不及的．例如(见Scott，[19]，页138)：

“极限的概念，作为微分学的真正基础，对于希腊头脑来说完全象是一个外国人”．

希腊数学中被认为最辉煌的创造之一的无理数论，对于极限来说是华而不实的，而从刘徽以至宋代的我国十迸位小数的记数法，却与极限概念一衣带水．十进位小数迟至16世纪在西欧重被发明以来，直接导致了对数的发明．作为微积分先驱者之一的Kepler，“广泛应用了对数与十迸位分数，且热情地传播这方面的知识．”(Cajori，[6]，页160)，是有一定的道理的．面积体识的计算乃是导致微积分发明的另一重要问题．然而，原来希腊欧几里得以至阿基米德所使用的“穷竭法”是很不得力的，Kepler 用之劳而少功，直到伽利略学生Cavalieri放弃了严密的穷均法改用粗糙的不可分量法才取得了重大的突破．在微积分的创造过程中起了如此重大作用为西方数学史家盛称的所谓Cavalieri原理，事实上早就见之于祖冲之、祖咆父子的著作，即所谓“幂势既同则积不容异”并具体用之于球体积的计算，比Cavarieli的发现要早了1100多年．

微积分的发明从Kepler与Galileo以至Newton与Leibniz经历过一段艰苦漫长的过程，上面所举两个例子可以说明发明过程中中国古代数学的作用远优于希腊式的数学，我们甚至不无理由可以这么说，微积分的发明乃是中国式数学战胜了希腊式数学的产物．

我们还可以指出，所谓插值法(以及二项式系数)在整个17世纪中受到重视，从Kepler以至Huygens与Newton这些最著名的数学家都参加了这一工作．在实际应用上这是编造各种表格(三角表，对数表，航海用表以及天文表)，所必需，在理论上又为求得精密逼近而为通向微积分的重要途径之一，它的受到重视是应当的(参阅Bourbaki，[51])．然而，插值法即我国古代数学中的招差术，从九章算术盈而不足术的直线内插法历经东汉刘洪，隋刘焯，唐僧一行与徐昂，到元郭守敬与朱世杰的四次招差术，实质上已到达了所谓Newton的一般插值公式，而后者出现于1676年，朱世杰则是元十三、四世纪时，早于Newton约300年．从插值公式通过极限即得Taylor公式，原来Taylor即是通过这一方式来得到所谓Taylor展开的．

中国古代数学至少自秦汉有记载以来，许多方面一直属于世界上的遥遥领先的地位，发展到宋元之世，已经具备了西欧17世纪发明微积分前夕的许多条件．不妨说我们已经接近了微积分的大门．尽管历代都有儒法斗争，儒家思想的阻扰放慢了数学发展的速度，甚至使许多创造湮没不彰或从此失传，但我们还是有可能先于欧洲发明微积分的．然而，宋朝的程朱理学已使当时的一些优秀数学家(例如扬辉)浪费精力于纵横图之类的数学游戏，陷入神秘主义，违反了我国自古以来的优良传统，到了明朝八段取士，理学统治了学术界的思想，我国的数学也就从此一落千丈了．

西方数学史家往往以希腊式的严密推理相标榜，并以中国数学从来没有达到演绎学的形式相指责．然而，我们已经看到，在微积分的发明上希腊形式的那种脆弱性以及与之相较中国式数学的生命力．某些数学史家例如Bourbaki[5]也曾指出欧几里得的那种系统阻确了代数学的发展并使之瘫痪，在将Cavalieri与亚基米德作比较时，Bourbaki又指出亚基米德只能得到Cavalieri原理很特殊的情况，而与Cavalieri作出他的原理用了不很科学的所谓“证明”相仿，亚基米德为了获得他的特殊情况的“证明”，也不得不把他著名的所谓亚基米德严密性弃之脑后．我国古代数学并没有发展出一套演绎推理的形式系统，但却另有一套更有生命力的系统．刘徽九章注序中说“折理以辞，解体用图”．刘徽海岛算经本来有注有圈，注以析理，图以解体，只是已失传而己，这是古代数学用以分析矛盾解决矛盾的一种辩证思维方法．

中国古代的劳动人民向来重视实际，善于从实际中发现问题提炼问题，进而分析问题解决问题，在深入广泛实践的基础上往高里提，建立了世界上最先进的我国古代数学．中国的数学是牢牢扎根于广大劳动人民之中，是导源于劳动人民长期实践经验的基础之上的，这与希腊几何学脱离实际脱离群众走到纯逻辑推理的形式主义道路是有别的．这正是直至16世纪以前我国数学在许多最主要的领域内一直居于最先进地位的根本原因，也是在微积分的发明上中国式的数学远远优越于希腊式数学的根本原因．明清以来我国数学的落后，乃是宋明理学八股取士堵塞了数学的发展道路，是儒家的思想统治所造成．西方数学史家把它归之于我国数学的缺少演绎推理与历史事实完全不符．恩格斯曾经说过(见[1])：

“数学演算适合于物质的证明，适合于检验，为它们是建立在物质直观(尽管是抽象的)的基础上的；纯逻辑演算只适合于推理证明，因此没有数学演算所具有的实证的可靠性——而且其中许多还是错误的！”

这是我国数学对希腊式数字来说具有极大优越性的一个很好的说明．

钱宝琮在《中国古代数学的伟大成就》一文([4])中曾说：

“第五世纪以后，大部分印度数学是中国式的，第九世纪以后，大部分阿拉伯数学是希腊式的，到第十世纪中这两派数学合流，通过非洲北部与西班牙的回教徒，传到欧洲各地，于是欧洲人一方面恢复已经失去的希腊数学，一方面吸收有生力量E的中国数学，近代数学才得开始辩证的发展．”

这段数学发展过程可概括为下面的简图(c表示世纪)：

根据前面的论证，我们认为有理由可以进一步说：近代数学之所以能够发展到今天，主要是靠中国的数学，而非希腊的数学，决定数学历史发展进程的主要是中国的数学而非希腊的数学．

以上抛砖引玉，论证粗疏不全之处，希望进一步补充阐发．论证偏激不当之处，则希望引起争鸣．

参考文献

[1] 马克思数学手稿．北京大学学报专刊，1974年5月．
[2] 算经十书(钱宝琮校点)，中华书局，1963．
[3] 钱宝琮，中国数学史，科学出版社，1964．
[4] 钱宝琮，中因古代数学的伟大成就，科学通报，1951，2卷，10期，1041-1043．
[5] Bourbaki N.,Elements d’histoires des mathematiques, 1969.
[6] Cajori F.,A history of mathematics, 2nd ed, 1919.
[7] Datta B.,Singh A. N., History of Hindu mathematics, 1962.
[8] Mikami Y.,(三上义夫)，The development of mathematics in China and Japan, 1913.
[9] Scott, A historyof mathematics, 1958.
[10] Smith D. E.,Source book in mathematics, 1929.
[11] ——，History of mathematics,1925.
[12] Stuik D.J., A concise history of  mathematics, 1948.
[13] Needhamj., Science and Civilizotion of China, V.3, 1971.
(注2：资料来自数学学报Vol.18,No.I(March,1975)顾今用文章《中国古代数学对世界文化的伟大贡献》[5]。)

中国对世界数学最大的贡献原来是阿拉伯数字

楼主：readcn2010Lv 9 时间：2016-06-1409:53:00

很多人以为中国的数学对世界的影响不大，但其实世界数学是构建在中国数学基础上，世界数学有很多源头，其中有很多人说熟知的几何原本所对应的几何体系，并且把现代数学都化归到这个欧氏几何之上，但这是很不全面的简单印象化。
地中海文明的记数体系缺乏十进位制的位值制，所以从古埃及时代，地中海地区的记数就很烦琐，这种记数的不简洁影响了地中海地区的数学发展，而继承了希腊和罗马的欧洲依然不能逃过这个死结，而这个死结由地中海地区吸收印度数字而改变，当然由于欧洲是从阿拉伯人那里学习和掌握的，因而欧洲人把这个数字体系称之为阿拉伯数字，但阿拉伯数字是阿拉伯人从印度人那里学来的，似乎这里已经到了源头，错！

因为印度数字仍然有源头，就是中国，在古代中国和印度存在很多相互影响，在大家所熟知的印象里，印度对中国最大的影响是宗教，但是中国也对印度也存在诸多影响，印度的很多农作物都是从中国穿过去的，印度的陶器和陶轮制陶术也是从中国这边传过去的。

在中国数学传播到印度之前，印度也有自己的记数体系，但是这种记数体系和地中海一样烦琐，不是位值制的，当中国的记数体系传播到印度的时候，中国的九章算术也同时传播到印度，而九章算术中的一些错误，印度也重复了。

这样我们可以看到这样一个脉络：中国数字-印度数字-阿拉伯数字-欧洲数字。

没有中国数字，欧洲单纯凭借继承希腊的几何是很难快速发展的。阿拉伯数字是中国数学对世界最大的贡献。

以下是贴子的网友评论：

证据可见李约瑟的《中国科学技术史·数学卷》的第十九章第二节记数法、位值制和零，李约瑟从文献和考古双重考察印度数字的中国源头，但是还有一些原因李约瑟没有认识到。事实上要认识到中国数字的价值，非要研究埃及数字、巴比伦数字、印度数字(受中国数字影响之前的)、玛雅数字、希腊数字和罗马数字，否则由于中国数字简单到位，而让很多人根本体会不到中国数字的伟大！

2019-02-0506:14:57 评论

印度数字传导阿拉伯后，阿拉伯数字分化成东阿拉伯数字和西阿拉伯数字。现在阿拉伯世界仍然在延续使用东阿拉伯数字，西阿拉伯就是在西班牙建立的阿拉伯政权，欧洲吸收的阿拉伯数字是西阿拉伯数字，后来欧洲在西阿拉伯数字基础改进符号形态，使得数字更容易识别和书写。

中国人使用阿拉伯数字，其实只是在使用中国数字的变形。

证据很明确，甲骨文中就有一，二，三，四，五六七八九十百千万等表示数值的汉字了。

2016-06-1910:18:23 评论

果然，老外很多东西都是从中国抢去盗用的，还编什么古希腊古罗马是数学起源。恬不知耻。

2016-08-2919:28:02 评论

你还说英语对数字记录乱，那是因为你没学过法语。法语对数字的表达，真让人想一头撞死。

作者：像风样自由1976Lv 6 时间：2016-06-1413:47:40

不否认中国历史上是个伟大的国家，可是在世界人类文明发展的进程中，中国又哪些杰出的贡献？思想，人文，科技？中国一直以来是世界上人口众多的国家之一，有哪些个杰出的思想家，哲学家，科学家对世界文明的发展有推动贡献。不说历史，就说现在，这样一个信息高度发达透明的时代，一些人或是还沉醉在老祖宗的训戒里，或是希望别人也这样，或是出于什么原因(不讲)而不愿让人民清醒的看到这个世界发展的潮流而活活的将国家隔绝于世界之外，于是就有了天涯里一班整体骂别人这、那的，自己祖宗多伟大。

2016-06-1910:51:10 评论

中国有12进制，年月、时辰等等。有16进制，半斤八两。有4进制、24进制，锱铢必较。有5、6、7、8进制，五尺曰墨，六尺曰步，七尺曰仞，八尺曰寻，十尺曰丈。你是不是太无知了？

2018-12-0223:04:15 评论

八十年代中期算盘算加减法的速度还超过计算机(不是计算器)呢。中国的银行淘汰算盘是在九十年代中后期的事。。。。。西方无理数不是因为计数繁琐，是他们无法理解这类数字，没法表达，也无法计算，对于小于一的数字，普遍的是用分数表示，但是无理数不能表示为两数之比，而中国发明了小数，可以表示到任意精度。

印度数字传导阿拉伯后，阿拉伯数字分化成东阿拉伯数字和西阿拉伯数字。现在阿拉伯世界仍然在延续使用东阿拉伯数字，西阿拉伯就是在西班牙建立的阿拉伯政权，欧洲吸收的阿拉伯数字是西阿拉伯数字，后来欧洲在西阿拉伯数字基础改进符号形态，使得数字更容易识别和书写。

中国人使用阿拉伯数字，其实只是在使用中国数字的变形。

我说的“变形”不是你表达的这个意思，中国数字和印度数字之间的内里是十进位制的位值制，不是符号本身，印度的数字符号是自源的，与中国没有关系，是印度通过文化交流学习了中国的数字系统，然后用自己已有的数字符号表达中国的十进位值制的体系，十进位制这个记数体系才是本质，不是符号形态。

李约瑟的《中国科学技术史》是西方研究中国古代科技的重要参考文献，斯塔夫里阿诺斯的《全球通史》在表达中世纪时期中国对世界的科技影响时就全盘引用李约瑟的研究成果，很多西方学者都在参考李约瑟的研究成果，而不是象“粉红肚兜黑色底裤”所污蔑的李约瑟是民科。李约瑟本身就是专业的科学家，李约瑟由生物领域向科技史转型不代表他的不专业。如果大家看过《中国科学技术史》就可以发现李约瑟的中国古典学术功力和视野超过了绝大多数中国人。

@readcn2010 数字的真正发源地其实是中国，你们看阿拉伯数字其实跟汉字数字特别类似，1和一，只是一个平躺一个立。2和二：2只是二的连写，3和三：3只是三的连笔。4和四：4是四的简写，5和五：5是五的简写和连写。6和六，6是六的连笔，7和七，7是七的变形，8和八这个有些变化(不过你看俄罗斯的字母，德国字母，英语字母，拉丁字母，希腊字母互相的差距更大就应该可以理解了，因为他们都是产生与腓尼基字母的后代)9和九，也是变形关系。

前不久去世的中国科学院院士，吴文俊先生，回国后的专业之一是数学史，在他的有关著作中，明确指出了”十进位值制“，是中华民族对人类文明最伟大的贡献之一。

正如前面有人已经指出的，十进制和位值制是有区别的两个概念。

注意，吴文俊院士正是通过发展中国古代的机械化数学而在机器证明领域取得了突破性进展。

中国古代的机械化数学和古希腊的公理化数学，被吴文俊称为人类数学的两大体系。

微积分的建立，必须依赖计算数学，而不可能仅依靠古希腊的几何方法。

2000年前的《九章算术》里就有开平方、开立方的计算办法，楼主和各层的，你们离开计算器，会这样的计算吗？《九章算术》算术里的，四则运算、分数运算、面积、体积计算方法，三角函数(勾股计算)，是目前我们小学里教学的全部内容。给道九章算术题：“今有善行者一百步,不善行者行六十步,今不善者先行一百,善行者追之,几何步及之?“

3. 算术代数的发展历史

代数(algebra)是由算术(arithmetic)演变来的。溯源在古代，当算术里积累了大量的关于各种数量问题的解法后，为了寻求有系统的、更普遍的方法，以解决各种数量关系的问题，就产生了以解代数方程的原理为中心问题的初等代数。

至于什么年代产生的代数学这门学科，就不容易说清楚了。如果认为“代数学”是指解bx+k=0这类用符号表示的代数方程的技巧，那这种“代数学”是在十六世纪才发展起来的。如果我们对代数符号不是要求像现在这样简练，那代数学的产生可上溯到更早的年代。西方人将公元前三世纪古希腊数学家丢番图看作是代数学的鼻祖，而真正创立代数的则是古阿拉伯帝国时期的伟大数学家默罕默德·伊本·穆萨(我国称为“花剌子密”，生卒约为公元780-850年)。代数学的英文名称algebra，就来源于九世纪阿拉伯数学家花拉子米的重要著作名称“ilm al-jabrwa'1 muqabalah”，原意是“还原与对消的科学”。这本书传到欧洲后，简译为algebra。清初传入中国两卷无作者的代数学书，被译为《阿尔热巴拉新法》，后改译为《代数学》。

“代数”作为一个数学专有名词、代表一门数学分支在我国正式使用，最早是在1859年，清代数学家李善兰和英国人韦列亚力共同翻译了英国人棣么甘所写的一本书，译本的名称就叫做《代数学》。在中国古代早就产生了代数的内容和方法，比如《九章算术》中就有方程问题，用文字来表达的代数问题出现的就更早了。

代数的起源可以追溯到古巴比伦时代[1]，当时人们发展出了较之前更进步的算术系统，使其能以代数的方法来做计算。由此能够列出含有未知数的方程并求解，这些问题在今日一般是使用线性方程、二次方程和不定线性方程等方法来解答的。相对地，这一时期大多数埃及人及西元前1世纪大多数的印度、希腊和中国等数学家则一般是以几何方法来解答此类问题的，如在兰德数学纸草书、绳法经、几何原本及九章算术等书中所描述的一般。希腊在几何上的工作，以几何原本为其经典，提供了一个将解特定问题解答的公式广义化成描述及解答代数方程之更一般的系统之架构。

代数(algebra)一词源于阿拉伯语单字“al-jabr”，出自al-Kitāb al-muḫtaṣarfī ḥisāb al-ğabr wa-l-muqābala这本书的书名，意指移项和合并同类项之计算的摘要，是波斯数学家花拉子米于820年所著。Al-Jabr的词意为“重聚”。但传统上，希腊数学家丢番图被认为是“代数之父”，他的成果到今日都还有用途，且他更给出了一个解答二次方程的一详尽说明。而支持丢番图的人则主张在Al-Jabr里出现的代数比在Arithmetical里出现的更为基本，且Arithmetical是简字的而Al-Jabr却完全是文辞的。[3]另一位波斯数学家欧玛尔·海亚姆发展出代数几何出，且找出了三次方程的一般几何解法。印度数学家摩诃吠罗和婆什迦罗与中国数学家朱世杰解出了许多三次、四次、五次及更高次多项式方程的解了。

代数更进一步发展的另一个关键事件在于三次及四次方程的一般代数解，其发展于16世纪中叶。行列式的概念发展于17世纪的日本数学家关孝和手中，并于十年后由莱布尼茨继续发展着，其目的是为了以矩阵来解出线性方程组的答案来。加布里尔·克拉默也在18世纪时在矩阵和行列式上做了一样的工作。抽象代数的发展始于19世纪，一开始专注在今日称为伽罗瓦理论及规矩数的问题上。

3.1 近世代数和逻辑代数

代数(algebra)是用符号代表数字参与运算，研究数、数量、关系、结构与代数方程(组)的通用解法及其性质，发展了纯数字运算的数学。代数学当中可大致分为初等代数学和抽象代数学两部分。初等代数学指19世纪上半叶以前发展的代数方程理论，主要研究某一代数方程(组)是否可解，如何求出代数方程所有的根(包括近似根)，以及代数方程的根有何性质等问题。

1900年8月巴黎第二届国际数学家大会上，38岁的希尔伯特发表题为“数学问题”的著名讲演——“希尔伯特23问”涵盖主流数学分支。英国《自然》杂志[1]评当代数学研究，几乎都可追溯至希尔伯特问题(Hilbert'sProblems)。1928年暮年的希尔伯特继续提出三大数理逻辑问题，构成他一生思考的终极之问——数学是1)完备的吗？2)一致的吗？3)可判定的吗？这三问直指所有数学命题1)是否都可以用一组有限的公理证明或证否？2)可以证明的都相容？3)都有明确程序可在有限时间内判定是真是假？也就是说，希尔伯特纲领性的23问和更宏观的后三问，从数学自身是否完备一致可证明出发，试图建立作为一切数学的元数学。后来哥德尔证明那是不可能的。希尔伯特纲领(Hilbert's Programme)促使可计算理论(ComputabilityTheory)的发展，带来了一系列副产品：图灵机、自动机、广义程序语言……等理论计算机。

1975年美国伊利诺斯大学召开的国际数学会议上，数学家们发现23问约一半已解决，其余一半也多有进展。希尔伯特23颗种子相继开花：数理逻辑、几何基础、概率论、数论、函数论、李群、数学物理、代数几何、常微分方程、偏微分方程、黎曼曲面论和变分法……大大推动了现代数学生态。作为科学理论工具，在物理学、信息学、逻辑学、计算科学、计算机工程等各领域推动人类文明前进。

3.2 下面是黄智生教授推荐的逻辑教科书

①数理逻辑的教科书：

Enderton,Herbert (2001), A mathematical introduction to logic (2nd ed.), Boston, MA:Academic Press, ISBN 978-0-12-238452-3.
Mendelson,Elliott (1997), Introduction to Mathematical Logic (4th ed.), London: Chapman& Hall, ISBN 978-0-412-80830-2.
Rautenberg,Wolfgang (2010), A Concise Introduction to Mathematical Logic (3rd ed.), NewYork: Springer Science+Business Media, ISBN 978-1-4419-1220-6.

②模态逻辑的好的教科书有：

Blackburn,Patrick; de Rijke, Maarten; and Venema, Yde (2001)Modal Logic. CambridgeUniversity Press. ISBN 0-521-80200-8
Chellas, B. F.(1980)Modal Logic: An Introduction. Cambridge University Press. ISBN0-521-22476-4
Hughes, G. E.,and Cresswell, M. J. (1996)A New Introduction to Modal Logic. Routledge. ISBN0-415-12599-5
(注4：资料来自百度百科、科学网等[7-8]。)

参考文献(1200字)

1. Prof. David Hilbert, For.Mem. R. S. By OLGA TAUSSKY, Naturevolume 152, pages 182–183 (14 August 1943). nature152182a0.
2. Boyer, Carl B. (1991), A History of Mathematics (Second ed.),John Wiley & Sons, Inc., ISBN 0-471-54397-7
3. 原创： 文行先生. 中国是世界数学之源. [EB/OL], 文行先生, https://mp.weixin.qq.com/s?__biz=MzUzNzEwMjkwNg==&mid=2247484185&idx=1&sn=bacbd34831a62988a339695bb637f9e3,2019-01-11, visiting date: 2019-03-10.
4. 来源：文行先生，环球视野，当前位置： 首页 > 活动 > 正文，中国是世界数学之源. [EB/OL], 环球视野, http://www.globalview.cn/html/activites/info_29371.html, 2019-01-12,visiting date: 2019-03-10.
5. 顾今用. 中国古代数学对世界文化的伟大贡献. 数学学报, 第18卷第1期, 1975年3月 [Vol.18, No.I(March, 1975)].
6. 楼主：readcn2010, 天涯论坛>国际观察>网友前线. 中国对世界数学最大的贡献原来是阿拉伯数字. [EB/OL], 天涯论坛, http://bbs.tianya.cn/post-worldlook-1682494-1.shtml, 2016-06-14,visiting date: 2019-03-10.
7. 最近更新：w_ou(2018-07-02). 抽象代数. [EB/OL], 百度百科，https://baike.baidu.com/item/%E6%8A%BD%E8%B1%A1%E4%BB%A3%E6%95%B0,2018-07-02, visiting date: 2019-02-10.
8. 智生空间分享http://blog.sciencenet.cn/u/ZSHuang. 如何学习现代逻辑 精选. [EB/OL], 科学网,http://blog.sciencenet.cn/blog-211188-439392.html, 2011-05-02, visiting data:2019-02-12.

来源：科学Sciences